(cod: P-64-24-11) Considere las siguientes afirmaciones:

(1) Si \(f\) es una función diferenciable en un intervalo abierto \(I\), con \(f'(x) > 0\), para todo \(x \in I\), entonces \(f\) es creciente en \(I\).

(2) Si \(x_0\) es un punto crítico de \(f\), entonces \(f\) posee un máximo local o un mínimo local en \(x_0\).

(3) Sea \(f:I \subset \mathbb{R}\) una función continua en un intervalo abierto \(I\). Suponga que existe un intervalo \((a,b)\) tal que \(x_0 \in (a,b) \subset I\) de modo que \(f'(x)<0\), para todo \( x \in (a,x_0)\) y \(f'(x)<0\), para todo \(x \in (x_0,b)\). En este caso, podemos afirmar que \(x_0\) es un punto de máximo local.

(4) Si \(f\) es una función dos veces diferenciable tal que \(f''(x) >0\) para todo \(x\) en un intervalo abierto \(I\), entonces \(f'\) es creciente en \(I\). Es decir, \(f\) es cóncava hacia arriba en \(I\), de modo que su gráfico queda por debajo de todas sus tangentes en \(I\).

(5) Si \(f''(x_0) = 0\), entonces \((x_0,f(x_0))\) es un punto de inflexión del gráfico de \(f\).

(6) Suponga que \(f'(x_0) = 0\) y que \(f\) sea dos veces diferenciable en \(x_0\). Si \(f''(x_0) > 0\), entonces \(f\) posee un máximo local en \(x_0\).

Con respecto a estas afirmaciones, tenemos que: